0.99是多少錢（和金錢關系最大的數學常數）

這是賽先生2017科普創作協同行動的第9篇文章。撰文：余小魯責編：李娟韓琨e是什么？讓我們先嘗試回答一個看似簡單的問題：e是什么？這個問題也許有一百個答案，筆者無法判斷哪個答案最為美妙、自然、深刻，但可以確信，最直接最乏味的答案是：e=2.

這是賽先生2017科普創作協同行動的第9篇文章。

撰文：余小魯

責編：李娟 韓琨

e是什么？

讓我們先嘗試回答一個看似簡單的問題：e是什么？

這個問題也許有一百個答案，筆者無法判斷哪個答案最為美妙、自然、深刻，但可以確信，最直接最乏味的答案是：

e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995……（小數點后五十位）

一個調皮神秘的記號e，變成了一堆數字的堆砌，這大概不會是讀者們投票選題所要的答案。那么，筆者嘗試給出第二個答案：e是所有數學常數中，跟我們口袋里的“銀子”關系最大的一個。

e與金錢的關系可以追溯到1683年。當時，雅各布?伯努利（在數學領域，稱呼伯努利要特別小心，因為伯努利家族至少有八位著名的數學家，對我們來說，他們都叫伯努利）思考了這樣一個問題：你的賬戶里面有一塊錢，假設一年銀行給你的利息是100%。如果利息在年終一次性結算，過了一年你的帳戶里面就有兩塊錢啦。但如果把這個利息拆散，多發幾次會如何？

舉個例子，一年發兩次，也就是六個月發一次50%的利息，一年后你將有(1+0.5)^2=2.25塊錢。如果每個月發一次1/12的利息，那么一年之后你將有(1+1/12)^12=2.61塊錢。伯努利非常開心地發現，這么算會讓自己更富有，就開始認真研究：如果一年發無數次利息的話，自己一塊錢的帳戶將會變成：(1+1/n)^n=? （當n趨于正無窮大）

伯努利首先注意到，當n趨于正無窮大，這個式子的極限是存在的，而且他用二項式展開證明了極限值在2和3之間。也就是說，你不會因此變成世界上最富的人。如果大家有興致自己去算這個式子的值（比如說n等于一萬），那么將會回到文章開頭最乏味的答案的一小部分。

如果大家不是太貪心，只是想讓自己口袋里的錢翻倍而已，筆者可以教大家一個有趣的口算辦法。舉一個最熟悉的例子，你買了只股票天天漲停（一天10%），七天就翻倍了。如果天天漲6%，幾天翻倍呢？大約12天。口算的公式特別簡單：xy=72。

每天漲x％，那么翻倍需要的天數大約為y天。比如說，每天賺一個點，x＝1，那么y＝72。72天之后，你的錢有(1+1%)^72=2.04。學會了xy=72這個公式，大家可以在家里掐指算一下自己發財的時間（圖1）。這條公式，其實無非說的就是中文里面利滾利的“滾”字，非常生動。

說回伯努利發現了跟金錢關系最大的復利，極限居然就是我們文章的主題e=(1+1/n)^n（當n趨于正無窮大），但伯努利并沒有稱呼這個東西叫做“e”。

圖1. “復利是世界上最偉大的力量”——愛因斯坦（圖片來源：pinterest）

歐拉與e

第一個用e來表示上面復利公式的極限的，是另一位大數學家——歐拉。事實上，歐拉有無數得意之作，跟e相關的工作可稱為他的代表作，必須用自己的名字Euler的首字母來表示。（這個猜測可能是小人之心，也許e就是指數expotential的首字母而已，大家姑且聽之。）e在數學上稱為歐拉數（Euler’s Number）。注意，這不是歐拉常數（Euler’s Constant），歐拉常數是用另外一個美麗的記號來表示。其實，這個區分是一種繁文縟節。叫歐拉數的還有很多，流體力學里面的歐拉數、拓撲學里面的歐拉數……每一個都代表了歐拉在其領域的重要貢獻。世人艷稱的最美數學公式e^(i)+1=0，就出自歐拉之手。

關于歐拉與e相關的種種重要貢獻，作者在此不再一一介紹。現在只說歐拉一個看起來非常平庸的工作。這個工作就是手算，有足夠的草稿紙和足夠的鉛筆，一個初中生懂得加減乘除就可以得到歐拉這個工作的結果。但實際上，現在的數學史專家都沒弄明白歐拉自己是怎么做到的。

1748年，歐拉出版了《無窮小分析引論》（Introductio in Analysin Infinitorum，也作《無窮小分析導論》），在這本書中，他把e手算到了小數點后十八位！即

e=2.718281828459045235

筆者實在無法想象，在沒有計算機的年代，究竟是如何做到的。如果我們最直接的用伯努利的利滾利公式，收斂也是不可思議的慢，如1.001^1000=2.717，小數點后第三位都到不了。類似的道理，用e=1+1/1!+1/2!+1/3!+…來手算，要得到這個精度，大約要算到前20項。大家可以想象一下，手算20的階乘的倒數，是怎樣的一種體驗。

歐拉自己發明了e的很多其他表達式，如一些看起來特別詭異的連分式。但無論用哪一種表達式手算，要算到18位，都很難想象（注：幾年后，歐拉給出了e的前23位）。一種比較合理的猜測，就是歐拉找到了一個巧妙計算e的辦法，要么是收斂快的級數表達，要么是用概率論相關的實驗大數統計。歐拉的全集到現在還沒出完，已經出到80卷，接近三百斤重！全集內容浩如煙海，有十七卷屬于數學分析，被稱為“分析的化身”，其他主要包括數論、拓撲學、物理學、天文學、邏輯學和音樂的數學理論。

對于這么重要的數學常數，很多人都想多記住幾位，沒事可以在朋友面前耍酷。那么，請大家跟我念下面這句話：By omnibus I traveled to Brooklyn（俺坐公車去了布魯克林）——這是美國人對e的記憶法，傻得非常可愛。by有兩個字母，omnibus有七個字母，以此類推，記住了這句話，就記住了e=2.71828。據說還有更傻的句子，能記十一位的，筆者在此就不推薦了。

其實，中國也有一套歷史悠久的傳統編碼系統——用漢字在《千字文》中出現的次序來排序（天地玄黃、宇宙洪荒……），古代科舉考場的房間號就是這么排的（圖2）。很多人熟悉的“‘天’字第一號”的說法，也正是出自《千字文》。至于e，記住四個字就夠用了——地洪天荒，這四個字在《千字文》中出現的次序（2、7、1、8）排在一起，便可記住e=2.718。

圖2. 明清科舉考場的房間編號，局部來自《千字文》中“劍號巨闕，珠稱夜光”。

e與自然究竟有什么關系？

下面讓我們來說一說，e為什么叫自然底數。自然底數是自然對數的底數，對數函數以e為底數，為什么就自然了？換言之，e為底數的自然性在哪里？

自然性（naturalness）是科學探索中一個永恒的主題。中文的“自然”，語出老子的《道德經》：道法自然。如果把“法”字作為動詞理解，那么科學對“道”的探索必須有某種自然性。不過，要對自然性作一個良好的定義，無疑是困難的。先舉一個粗淺的例子，我們測量身高時，如果以公里為單位去測量，一米七五高的人，說他有0.00175公里高，便顯然很不自然。單位是某種標尺，計算身高跟這個標尺的比值，得到一個無量綱的數字（如0.00175）。無量綱量是一個沒有單位的數字，如圓周率，等于一個圓的周長和直徑的比值。

無量綱的數字在物理學中有重要的地位，物理學的自然性就是期待一個好的物理學理論，其中的無量綱參數不能太大，也不能太小。對物理自然性更技術一點的定義是：一個小的無量綱參數可以被認為是自然的，只有當這個小無量綱參數趨于零時，系統呈現出新的對稱性。也就是說，一個太小或太大的無量綱參數只有在這種情況下可以被容忍。

在標準模型里面，費米子的質量相比于對應的能量標尺，顯得非常小，但當費米子的質量趨于零的時候，有新的手征對稱性呈現出來，因此，我們認為費米子這個小質量是自然的。但是標量玻色子（如希格斯粒子）的質量相比于對應的大統一理論能量標尺，小得很不自然，因為標量粒子的質量趨于零的時候并沒有新的對稱性呈現出來，這也就是當今物理學的一大難題，稱為等級差問題（hierarchy problem）。等級差問題的本質就是自然性。

回到數學上的自然性，以e為底的對數自然嗎？那以10為底的對數是不是更為自然？

以10來計數，并沒有數學上的自然性，只是一種文化屬性。易經可以用二進制，一斤可以是十六兩也就是半斤八兩，很難說哪個更為自然。一個對數函數，無論以什么為底數，都有一個共同點，就是1的對數都為0。但在自變量為1的地方，對數函數曲線的斜率則取決對數函數的底數，只有把底數取為e時，斜率剛剛好為1。那么，斜率為1就自然了嗎？我們可以用簡單的泰勒展開式來回答這個問題：log(1+0.01)=log(1)+(斜率)× 0.01+...那么以e為底的話，1.01的對數值非常接近0.01，0.99的對數值非常接近于-0.01（log(1-0.01)=log(1)?(斜率)× 0.01+…）。

對照前面對物理學自然性的分析，讓我們從物理學的角度看看何謂斜率。我們走上一個山坡時，上坡的斜率就是山坡的高度和寬度的比值，這是一個無量綱的參數。把上面的泰勒展開式看成一個物理學理論，那么，這個無量綱的參數不能太大也不能太小，等于1的時候最為自然。

自然性是天生的一種美學性質，有人就被e的美麗所迷惑，做出了很有趣的事情。大計算機科學家Donald Knuth創造的編程語言metafont，一出來就是第二版，然后就發布了2.7版，2.71版……到現在是2.7182818版。Google公司在2004年申請首次公開募股的時候，要募多少錢呢？$2,718,281,828。所以，看完這篇文章的朋友，以后過年發紅包的時候不妨考慮一下2718元這個數字。

參考文獻：

1. J . O’Connor and E. Robertson, "The number e".MacTutor History of Mathematics.

2. B. Malkiel, A Random Walk Down WallStreet, W. W. Norton & Company, Inc.

3. M. Gardner, "Memorizing Numbers." Ch. 11 in The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.

4. A. Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell, Second Edition, Princeton University Press.

作者介紹：中山大學物理學博士，中國科學院物理研究所博士后，2013-2014年曾任美國密西西比州立大學研究學者，主要研究量子場論和凝聚態物理理論的交叉應用。

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