六、幾種函數

符號函數：

狄利克雷 函數：

黎曼 函數：(可積（課本 ）)

黎曼函數

取整函數：（取小：取最小的整數），（也叫做：左取整函數，取最左邊的整數）

取整函數

不超過 的整數 比如

復合函數：

或 內函數的值域對映外值函數的定義域內.

6. 反函數：（ ，對于三角函數的反函數歸為一個周期內成立）

圖：

y=arcsinx

y=arccosx

y=arctanx

y=arccotx

周期函數:

為有理數.

備注① 有界：連續函數以 為周期必有界（不在此證明）

② 不是所有周期函數都有最小正周期。周期函數的周期是與無關的非零常數，存在沒有最小正周期的函數，而這個函數就是狄利克雷函數。狄利克雷函數是一個定義在實數范圍上、值域不連續的函數。狄利克雷函數的圖像以軸為對稱軸，是一個偶函數，它處處不連續，處處極限不存在，不可黎曼積分。實數域上的狄利克雷 函數表示為：

（ 為整數）也可以簡單地表示分段函數的形式 （是無理數）或 （ 是有理數）,假設 ， 為無理數; ， 有理數,由有理數和無理數的運算法則可以知道，所有的有理數與有理數的和都是有理數，有理數與無理數的和都是無理數。那么對于這個函數而言，取 為任意有理數，就都滿足了，無論 是有理數還是無理數，這就意味著狄利克雷就是一個周期函數。它的最小正周期是最小的有理數，而顯然是不存在最小的有理數的，因而這個函數也就沒有最小正周期了。

周期函數的性質共分以下幾個類型：

若是的周期，則也是的周期.

若 是的周期，則（ 為任意非零整數）也是 的周期.

若 與 都是 的周期，則 也是 的周期.

若 有最小正周期 ，那么 任何正周期 一定是 的正整數倍.

若 是 的兩個周期，且 是無理數，則 不存在最小正周期.

周期函數 的定義域 必定是至少一方無界的集合.

基本初等函數:

六種初等函數

常量函數： ( 為常數)

冪函數： ( 為實數) 上角實數冪

指數函數： ( )

對數函數： ( )

三角函數：

反三角函數：

初等函數：由六個基本初等函數經過有限次四則運算與復合運算所得到的函數

例如： , ,

非初等函數：反之，例如：狄利克雷函數、黎曼函數.

七、補充內容

單值函數與多值函數:

一般函數只有1個 值對應，但嚴格說還有多值函數，單值函數.

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