科技改變生活 · 科技引領未來
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本文原載于《數學文化》第十一卷（2020年）第2期點擊此處訂購《數學文化》紙質刊開場白從數學的歷史發展來看，初等數學與高等數學之間的聯系是非常緊密的。然而在當前的數學教學中，二者往往處于割裂的狀態。本文以一道平面幾何題的多種解法以及推廣為主
本文原載于《數學文化》第十一卷（2020年）第2期
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開場白
從數學的歷史發展來看，初等數學與高等數學之間的聯系是非常緊密的。然而在當前的數學教學中，二者往往處于割裂的狀態。本文以一道平面幾何題的多種解法以及推廣為主線，通過虛擬對話的方式，對這些解題方法的相關歷史背景及其內在聯系進行了初步的探討，嘗試勾畫出初等數學是如何發展到高等數學的。在某種意義上，這場對話的內容可以看成是兩千多年數學發展歷史的一個縱向切面。
主要人物介紹
M?克萊因：20世紀美國數學史家和數學教育家。《古今數學思想》是他的代表作之一，論述了數學思想的古往今來，這也是選擇他作為此次對話主持人的主要原因。
泰勒斯：古希臘數學家、哲學家，被譽為“論證幾何學的鼻祖”。
畢達哥拉斯：古希臘數學家、哲學家，畢達哥拉斯學派的創始人，該學派信奉“萬物皆數”，即萬事萬物都可以由整數或者整數之比來表示。
希帕蘇斯：畢達哥拉斯學派成員，傳說他首先發現了正方形對角線與其一邊的不可公度性，而被驚恐不已的其他成員扔進了大海。
歐多克斯：古希臘天文學家和數學家，他所提出的新比例理論暫時消除了由于不可公度量的出現而引發的“數學危機”。
芝諾：古希臘數學家、哲學家，因提出了一系列關于運動不可分性的哲學悖論而聞名于世。在這些悖論中，其中一個就是“論證”了希臘善跑名將阿基里斯永遠追不上一只烏龜。
歐幾里得：古希臘論證幾何學的集大成者，其著作《原本》對后世的影響極為深遠。
艾布?瓦法：中世紀阿拉伯天文學家、數學家，著有《天文學大全》，證明了平面和球面三角形的正弦定理。
笛卡爾：17世紀法國哲學家、數學家，將幾何坐標體系公式化從而開創了解析幾何。
關孝和：17世紀日本數學家，在1683年的著作《解伏題之法》中最早提出了行列式的概念及算法。
拉格朗日：18世紀法國數學家，數學分析的開拓者之一。
高斯：18-19世紀德國數學家，享有“數學王子”的美譽。在歷史上，高斯并不是最先給出復數的幾何解釋的，但是由于他的巨大影響力，人們逐漸認識到這種解釋的合理性，從而溝通了復數和平面幾何的聯系，使得復數成為解決平面上的數學問題和物理問題的重要工具。
格拉斯曼：19世紀德國數學家，歷史上首次清晰地解釋了“維向量空間”的概念，把維向量空間的向量和與積用純幾何方法來定義，發展了通用的向量演算法。
哈密爾頓：19世紀英國數學家，提出了著名的“四元數”；在歷史上，他是第一位用“向量（vector）”這個詞表示有向線段的數學家。
龐斯列：19世紀法國數學家，他使得射影幾何真正變革為一門具有獨立的目標和方法的學科。
康托爾：19世紀德國數學家，集合論創始人，認為“數學的本質在于它的自由”。
M?克萊因：諸位，在西方文明中數學一直是一種主要的文化力量；以神圣的數學之名，我們歡聚一堂。首先有請古希臘泰勒斯先生。
泰勒斯：今天我們來探討幾何學。幾何學源遠流長，人類最初的幾何知識從對世界萬物形的直覺中萌發出來。事實上，古埃及的幾何學即產生于尼羅河泛濫后土地的重新丈量，“幾何學”一詞的希臘文意即“測地”。
古希臘時代以前的數學都以經驗的積累為特征，幾何學也不例外；但經驗不是獲取知識的唯一方法，經驗也不能給人類以推理能力，我們需要一種推理方法來保證它所導出的結論具有確定性。
M?克萊因：古希臘學者們所發明的推理方法就是演繹法，即從已認可的事實推導出新命題，承認這些事實就必須接受推導出的命題；而幾何學便從此進入了推理幾何階段，對于各種各樣幾何圖形的性質作系統化和深刻的分析。
泰勒斯：的確如此。盡管歷史學家把論證數學的開端歸功于由我領導的愛奧尼亞學派，但實際上我們學派的興趣主要還是在自然哲學方面，比如宇宙起源理論等等。關于我本人也有很多傳說，比如說我早年經商，進行橄欖榨油機生意發了大財，在巴比倫我預報了公元前585年的一次日蝕，甚至還說我夜晚散步在全神貫注觀察星星時，不小心跌到溝中成了落湯雞——但傳說畢竟是傳說。
M?克萊因：關于泰勒斯先生的傳說有些還是有記載的，比如新柏拉圖派哲學家普羅克魯斯先生在其著作中便介紹說泰勒斯先生證明了下面關于三角形的一個很基本的性質：等腰三角形兩底角相等。
三角形是僅次于線段和直線的最基本、最簡單的幾何圖形，并且空間中的大部分基本性質都已經在三角形的幾何性質中充分體現，因此三角形是古希臘幾何學所研究的重要內容之一。
泰勒斯：不錯，今天我們要探討的幾何問題便是與三角形有關：如圖1,為重心，過的直線交于,交于。求證：
圖1
畢達哥拉斯：泰勒斯先生，正所謂萬物皆數，與，與應該均可公度！
希帕蘇斯：我的名字就是一種傳說，哪怕再次面臨著被扔到洶涌的大海的危險，我也要說出我的發現：畢達哥拉斯先生，世上確實存在不可公度的線段！比如正方形的邊長和對角線長之間的輾轉丈量就是永無休止因而是不可公度的（如圖2）！
圖2
歐多克斯：向偉大的希帕蘇斯先生致敬！其實無論與，與是否可公度，利用比例理論我都可以證明“如果兩個三角形的高相同，則它們的面積之比等于兩底之比”。下面我將利用這個結論來解決泰勒斯先生所提出的問題。
圖3
如圖3，取為中點，設。由是重心可知且，。從而
所以
又
故
化簡即有
芝諾：歐多克斯先生的解法巧妙之至，可惜現在我沒有時間來研究它。阿基里斯到底能不能追上烏龜呢？我要好好思考一下。
托勒密一世：偉大的阿基里斯怎么能追不上一只烏龜呢？芝諾先生真是幽默。不過想要理解歐多克斯先生的解法，我還要認真學習一下幾何學才行。尊敬的歐幾里得先生，您是幾何學的集大成者，請告訴我，學習幾何學有何捷徑呢？
歐幾里得：幾何學無王者之道！尊敬的托勒密王可參閱我編寫的《原本》(Elements)一書。歐多克斯先生的方法確實不錯，但我發現了更為精巧的方法，應該可以加到我的《原本》中去：
圖4
如圖4，同樣取為中點，連接。分別過點作直線的垂線于，則有
M?克萊因：歐幾里得先生不愧為幾何學大師，其方法簡潔明了，所作輔助線有如神來之筆，充分體現了幾何學的神奇魅力，讓人驚嘆！
歐幾里得先生的《原本》以亞里士多德先生的形式邏輯為方法論基礎，將前人的工作整理、匯編，構建了歷史上第一個數學公理體系，堪稱西方科學的“圣經”！
艾布?瓦法：歐幾里得先生果然名不虛傳。不過我卻要對尊敬的托勒密先生表示感謝，您的著作《大成》雖然是探討天文學，但對三角學的貢獻卻是里程碑式的。受您的啟發，我編寫了《天文學大全》，其中關于三角形的正弦定律，可以用來解決這個幾何問題。
圖5
如圖5，過作交于，交于。設
則
由正弦定律可得
因為
所以
即
M?克萊因：艾布?瓦法先生的解法將此問題的一般情況與特殊情況作對比，雖計算略顯復雜，也不失為一種好辦法。
三角學確實是為天文學的應用而產生的——天文學可能是一門比數學的歷史還要悠久的學科，若知道這一點，人類為何首先關注球面三角學而不是平面三角學便不顯得奇怪了。當然，隨著13世紀納西爾?丁先生的著作《論完全四邊形》的誕生，三角學便逐漸脫離天文學而成為一門獨立的學科。
三角學揭示了三角形的各種各樣幾何量之間的函數關系，因此從某種意義上來說三角學就是三角形的解析幾何。本質上講，三角定律揭示的是平面幾何的度量結構，其中正弦定律(Law of sines)與面積有關，而余弦定律(Law of cosines)——畢達哥拉斯定理的推廣——則與長度有關。因此可以說艾布?瓦法先生的解法與歐多克斯先生的解法本質上是相同的。
笛卡爾：各位先生的解法的確巧妙之至，但太依賴于幾何圖形了，也許只適合于想象力疲乏的情況下去練習理解力；同樣遺憾的是，現在的代數學也太拘泥于各種法則和公式了，似乎變成了一種充滿混雜和晦暗，故意用來阻礙思想的藝術而不像一門改進思想的科學。對此，我們要感謝韋達先生，他在數學符號系統化方面的卓越工作，大大提高了代數學的一般性。我認為，是該到了把代數學以及幾何學中一切最好的東西，即幾何的直觀和計算的程序化結合起來，互相以長補短的時候了。
M?克萊因：笛卡爾先生所言極是。您和費馬先生各自獨立所發明的解析幾何，確實是數學發展史上的重要里程碑。不過費馬先生作為數學家與您還是風格迥異，您的哲學思想對后世可謂影響深遠。
笛卡爾：Je pense, donc jesuis！（我思故我在）以任意點為原點建立我的直角坐標系。設
則
由三點共線知：
即
為方便計算可建立下表（計算左右各項相應的系數）：
由此可得
拉格朗日：此法甚好！歷史告訴我們，只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄。但是當這兩門科學結合成為伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，從此數學就以快速的步伐走向完善。
M?克萊因：的確如此，微積分的誕生及其蓬勃發展即是最有力的證據。解析幾何的妙處還在于提供了解決幾何問題的一般方法：將幾何元素代數化（點與實數對對應，曲線與方程對應），因此在代數的幫助下，幾何元素也可以自由的進行運算；要知道只通過圖形進行論證，一些隱藏較深的數量關系便難以發現，解題途徑自然是千奇百怪。不過笛卡爾先生的上述證明應該還可以簡化。
笛卡爾：根據坐標系可以任意建立的原理，取點為原點即可得到：
從而有；由于三點不共線，故，所以。
M?克萊因：果不其然！不過相對于純幾何法，解析法往往面臨計算過于繁瑣的窘境，但隨著代數工具的不斷改進，這種局面應該會有很大改觀。
關孝和：首先我代表東方的數學家們向大家致敬！笛卡爾先生的證明確實可以利用新的代數工具——行列式來表示：由三點共線知：
利用行列式的性質化簡可得：
即
用一些行列式性質可以得到
由于
所以。
M?克萊因：確實方便了不少。在西方，行列式起源于線性方程組的求解，萊布尼茲先生對此頗有研究；東方的關孝和先生則是從高次方程組消元法入手對這一概念進行闡述的。盡管處理方式不同，最終殊途同歸，可謂春天的紫羅蘭處處開放！
經過比較我們還可以發現，如果將行列式展開，得到的便是笛卡爾先生最初的計算過程，因此利用行列式不但解釋了為何當三點不共線時有
另外，根據不難發現與是等價的，從圖形上看其實也就是笛卡爾先生所用到的三點不共線以及三點不共線本質相同。由此可見，無論計算的工具和途徑有何變化，背后所依賴的幾何事實卻是不變的。
費馬：言之有理！關于此問題的解析法，我突然想到一個真正奇妙的證明。
M?克萊因：甚好！尊敬的費馬先生，不像的整數解問題，我們這個問題您有足夠的時間來思考與闡述。
費馬：以任意點為原點建立直角坐標系，由三點共線可知存在實數使得
由三點不共線知
從而有。
M?克萊因：妙哉！妙哉！上述方法其實蘊含著平面的一個相當根本的性質，即平面上任意一點的坐標都可以由已知的不共線三點的坐標來表示，且表示法唯一。本質上，這就是我們剛才提到的“幾何事實”：平面是實數域上的二維向量空間。當然，上述解法也可以直接用向量來表達。
格拉斯曼：向量是近代數學的一個重要工具，它最早起源于物理學，人類很早就知道力的合成滿足平行四邊形法則；除此之外，位置幾何是向量理論的又一個重要思想源泉，這一源泉早期可以追溯到萊布尼茲先生的位置幾何的概念。
M?克萊因：萊布尼茲先生想創造一種可以作為空間分析的直接方法的系統，確實很有遠見。如果說歐幾里得幾何的特點是綜合，笛卡爾幾何的特點是分析，那么向量便同時擁有這兩大特點：它既可以向幾何圖形一樣自由地移動，也可以像數一樣自由地運算。另外，笛卡爾先生所提到的直角坐標系可以任意建立的事情，本質上就是向量可以自由地平移！
圖6
格拉斯曼：的確如此。我們來看如何用向量來解決這個平面幾何問題。如圖6，設
由是重心可得
由三點共線可知存在數使得
由三點不共線知
從而有
M?克萊因：妙哉！妙哉！向量工具的優點就是直觀明了且又計算簡單。
高斯：向量的概念確實很基本，比如復數也可以用向量來表示，因此上述向量證法也可以改用復數的語言來表述：以A為原點建立復平面，設
其中,都是實數。設點所對應的復數分別為,則
由三點共線知：存在實數使得，即
由三點不共線得
即。
M?克萊因：復數與向量之間確實有天然的聯系。在平面上，點、向量以及復數在一定情況下可以等同起來，所以很多幾何問題既可以用向量來解決，也可以用復數來解決。
哈密爾頓：諸位，讓我來提醒大家一件非常有趣的事情吧：若點落在線段延長線上，規定
則上述解析法和向量法證明依然成立！
M?克萊因：有意思!
哈密爾頓：說明此事只需引入線段的方向即可。當點落在延長線上時，線段和恰好方向相反，因此可以規定
同樣的道理，當落在線段延長線上時就有
如圖7。這里蘊含的其實就是有向線段的概念，我們通常用它來表示平面向量。
圖7
M?克萊因：這相當于把原命題推廣了，甚好！不過當時（如圖8）有
如果此時
則的結論也成立，但遺憾的是此時點并不存在，上述種種方法中唯一的約束就是且。
圖8
龐斯列：設平面上所有平行的一組直線相交于無窮遠點，則平面上的點和直線就完全對稱了。就上述問題而言即有
此時也成立！
康托爾：數學的本質在于它的自由！
M?克萊因：無窮的數學世界無窮無盡，人類的探索也永無止境。感謝諸位參與此次對話。最后不得不提及古希臘的柏拉圖先生——作為古希臘最有學問的學者，雖然他不是一名數學家，但他深信數學對哲學和了解宇宙的重要作用，倡導為了凈化靈魂而去學習數學。這種精神將激勵我們永遠前行！
注釋
M?克萊因.西方文化中的數學.張祖貴譯.上海：復旦大學出版社，2004.
李文林.數學史概論(第2版).北京：高等教育出版社，2002.
項武義. 基礎幾何學. 北京：人民教育出版社，2004.
該問題參見： http://www.cut-the-knot.org/triangle/CharacteristicPropertyOfCentroid.shtml.
此解法參見：http://www.cut-the-knot.org/triangle/CharacteristicPropertyOfCentroid.shtml.
見：項武義. 基礎幾何學. 北京：人民教育出版社，2004.
楊浩菊. 行列式理論歷史研究. 西安：西北大學，2004.
孫慶華. 向量理論歷史研究. 西安：西北大學，2006.
梅向明. 高等幾何（第2 版）. 北京：高等教育出版社，2000.
作者簡介 ：
彭剛， 廣西師范大學數學與統計學院講師。2017 年博士畢業于華東師范大學數學系，研究興趣為數學史與數學教育、數學文化傳播。
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李悅遠